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多种方法巧解平面几何题

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发表于 2020-12-7 17:20:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知:∠CAD=∠DAB=10⁰,∠CBD=40⁰,∠DBA=20⁰,求证:∠CDB=70⁰
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这题很妙,值得学习。  发表于 2020-12-7 17:27
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 楼主| 发表于 2020-12-7 17:22:01 | 显示全部楼层
这道题延续了之前多道求角格点的题型,但只给了角度,没有边长关系。厚道的是题目给了∠CDB的度数,给了反向推导的机会,不需要拿量角器了…
解法一: 将∠CDB=70⁰代入,得到各个内角的角度。观察到∠ACD=30⁰,尝试作三角形ACD的外接圆O,连接OA,OC,OD,得到正三角形OAD,易知三角形ABD,OBD,BCD全等。


如下图,但反过来,要从外心推导出三角形全等有难度。

于是改变辅助线做法,以AD边向上作正三角形OAD,由SAS证得ΔABD≌ΔOBD
从而∠DOB=10⁰,∠CBO=20⁰
以O为圆心,OA为半径作圆,与AC交于C’点
因为∠CAD=10⁰,所以∠DOC’=20⁰,∠BOC’=10⁰
由此ΔBOD≌ΔBOC’, ∠OBC’=20⁰=∠OBC,即C,C’重合
所以BC=BD,∠CDB=70⁰





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 楼主| 发表于 2020-12-7 17:23:18 | 显示全部楼层
解法二:通过角度特殊关系构建等腰三角形和特殊直角三角形,如下图
计算出已知个角度数,注意到,∠CAB=20⁰,∠CBA=60⁰,∠CAD=10⁰,所以可以构造一个以A为顶点,AB为腰的等腰三角形,且使此三角形的底边成为另一等腰三角形的腰。
同时,注意观察∠DAB+∠DBA=30⁰,可以构造出一个30度的直角三角形。
于是,在AC延长线上取点E,使AE=AB,连接BE, BE=BC
延长AD交BE于F,易知AF⊥BE
从而BE=2BF=BD=BC
所以∠CDB=(180-40)/2=70⁰






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 楼主| 发表于 2020-12-7 17:24:44 | 显示全部楼层
解法三:利用内心构造全等形。如下图:
观察到AD平分∠CAB,并且角度都是10,20,40这样的倍角关系,所以作∠CBA的平分线交AC于E点。E点为三角形ABE的内心,从而DE平分角AEB
所以∠AED=∠BED=60⁰
得到∠CEB=∠BED=60⁰
易知ΔBDE≌ΔBCE, BD=BC
解得∠CDB=(180-40)/2=70⁰







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 楼主| 发表于 2020-12-7 17:25:40 | 显示全部楼层
解法四:三角函数
对三角形ABD和三角形ABC使用正弦定理,可得:
BD/sin10⁰=AB/sin150⁰
BC/sin20⁰=AB/sin100⁰
所以BD/BC=sin100⁰sin10⁰/sin150⁰sin20⁰=cos10⁰sin10⁰/sin150⁰sin20⁰=sin20⁰/sin20⁰=1
解得∠CDB=(180-40)/2=70⁰

如果直接对ABC使用塞瓦定理的角元形式,也可以得到关于∠BCD的三角方程,就是解方程麻烦一些。



作者:ashuwh lin
链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/295370402
来源:知乎



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