IMO数论问题欣赏

admin · 发表于 2020-12-11 11:26:20

此贴将集锦部分IMO数论问题。

S1.这是1988年国际数学奥林匹克(IMO)第6题。被誉为此赛事历史上最传奇的题目。

后来的获得国际数学最高奖的菲尔兹奖得主吴宝珠和陶哲轩当年都在这个比赛中做过此题。

$a$ 和 $b$ 是正整数， $p=\frac{a^2+b^2}{1+ab}$ 也是正整数，

求证： $p$ 必然是某个整数的平方。

证明：我们假设 $p$ 不是完全平方数，根据 $a$ ， $b$ 的对称性，不妨设 $a\ge b$ ，

则有， $a^2-pba+b^2-p=0$ （1）

设 $\left ( a_0,b_0 \right )$ 是满足（1），并且 $a_0+b_0$ 为最小的正整数解，

考察一元二次方程 $x^2-pb_0x+b_0^2-p=0$

设 $a_1$ 为另外一根，则

$a_1=pb_0-a_0=\frac{b_0^2-p}{a_0}$

可以推测

$a_1$ 为非零整数，否则原命题得证，

若 $a_1<0$ ，则 $b_0a_1<0$ ， $b_0a_1 \le -1$ 有；

$a_1^2-pb_0a_1+b_0^2-p=a_1^2+b_0^2-p(b_0a_1+1)\ge a_1^2+b_0^2>0$

$a_1$ 为正整数， $a_1=\frac{b_0^2-p}{a_0} <\frac{b_0^2}{a_0} \le a_0$

这与最小的正整数解矛盾，因而原命题得证。

admin · 发表于 2020-12-11 12:27:56

[Tex]a_1+b_0

admin · 发表于 2020-12-11 12:34:45

admin 发表于 2020-12-11 12:27
[Tex]a_1+b_0

公式报错了

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