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IMO数论问题欣赏

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发表于 2020-12-11 11:26:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
此贴将集锦部分IMO数论问题。


S1.这是1988年国际数学奥林匹克(IMO)第6题。被誉为此赛事历史上最传奇的题目。


后来的获得国际数学最高奖的菲尔兹奖得主吴宝珠和陶哲轩当年都在这个比赛中做过此题。

是正整数,也是正整数,

求证:必然是某个整数的平方。


证明:我们假设不是完全平方数,根据的对称性,不妨设


则有,(1)


是满足(1),并且为最小的正整数解,


考察一元二次方程


为另外一根,则




可以推测
为非零整数,否则原命题得证,

,则有;



为正整数

这与最小的正整数解矛盾,因而原命题得证。



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 楼主| 发表于 2020-12-11 12:27:56 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2020-12-11 12:34:45 | 显示全部楼层

公式报错了

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