【汇总】2020年小禾杯试题解析

灰老师

有兴趣的在后面跟帖求解

灰老师

第一题已经放进每日一题了，


灰老师和Holy一起提供的解法：


此题考进位原理，这9个数的和是45，
而最后的数字和是9+9=18，
根据进位原理，算出进位次数是3，
又因为末位数字和是9，
得出个位数字和是39，十位数字和是6.
于是我们根据十位数字和为6的数分组。


1.{1，5}，这样各位数是{2，3，4，6，7，8，9}
所有的组合情况就是7*6=42


2.{2，4}，这样各位数是{1，3，5，6，7，8，9}
所有的组合情况就是7*6=42


3.{1，2，3}这样各位数是{4，5，6，7，8，9}
所有的组合情况就是6*5*4=120


于是所有情况的总和是120+42+42=204


欢迎大家批评指正

灰老师

第二题：
step1.设这个多位数为A，记S(A)为A的各位数之和，这样我们可以得到，
S(A)=20，S(2A)=22，S(4A)=35
这样可以可以算出4A至少是一个四位数，由3个9和1个8组成，
因为4A是偶数，所以只可能是9998，
经过验证，9998不能被4整除，这样可以得到4A至少是一个五位数。


step2.如果4A的首位是1，那么2A肯定是一个4位数，根据2A+2A=4A的加法关系，
我们根据进位原理，22*2-35=9，得到只有一次进位，这样只有首位发生进位，
其他3位都不能发生进位，这样4A的后四位数都必须是偶数，最大8*4=32，
与1的和不等于35，不满题意。


ste3.所以2A必为5位数，4A要使得结果最小，首位最小为2，
这样后四位的和为33，被4整除，并且要求有3个偶数，这样得到最小的数是28988。
那么A=7247

感谢Holy修正

第三题   X=11   Y=2    Z=23     x+y+z=36

欢迎指正

灰老师

第四题：
构造一个数列，4，8，12……，2000，应该就是所求的数列，所以n最大是500

灰老师

第五题：

step1.先计算幻和S=（1+19）*19/2*5=38


step2.填出部分数，如下图

显然B+C和D+E只有16+19和17+18两种情况
我们观察B处，此处不能填18和19，否则B上方只能填10和9，重复了，所以B处只能填16和17
在观察E处，此处不能填16和19，所以B只能填17和18，
确定了E处，D处就知道只能填18和17了，所以B+C肯定是16+19的组合了

于是我们顺利填出B=16，C=19
D=17，E=18
这样顺利得到A=4

灰老师

第六题


这题是文字游戏题，申明几个关键的命题，


1.最大的约数是自身


2.第二小的约数必定是素数，因为1是最小的约数


得到这两点，迅速看题目得到以下结论；


B最大的约数是C第二小的约数，说明B是素数，


A最大的约数是B第二大的约数，素数只有两个约数，第二大的约数肯定是1，


得到A=1；


B最大的约数也是D第二大的约数，说明D可以分解为两个素数的乘积，我们设D=pB,p是素数
B最大的约数是C第二小的约数，说明C可分解为C=mB，m是大于1的整数


C-(A+B+D)=mB-(1+B+pB)=B(m-p-1)-1=2
得到B(m-p-1)=3
得到B=3，和B=1（此时A=B，与第二大的约数矛盾）
把B=3代入，B最大的约数是D第二大的约数，说明D=9或者6
D=9时，C=15
D=6时，C=12
代入检验知都是正确的解；
A=1，B=3，C=15，D=9，A+B+C+D=28
A=1，B=3，C=12，D=6，A+B+C+D=22

灰老师

第八题
这题凑出来的，*26能表示成一个两位数乘以一个一位数，只有126，这个确定了百位都是1，全部都确定了。

         1  8
     *  7 6 7
--------------
       1 2 6
     1 0 8
   1 2 6
-------------
   1 3 8 0 6

灰老师

第七题：

等人解答

灰老师

第九题
等人解答