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【汇总】约数和倍数

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发表于 2021-1-17 08:49:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
一、约数、倍数
1.基本概念
(1)如果a能被b整除,则b是a的约数(因数),a是b的倍数;
(2)约数具有“配对”性质:大约数对应小约数.
2.约数个数
(1)分解质因数,指数加1再相乘;
(2)平方数有奇数个约数,非平方数有偶数个约数.
3.约数和公式
(1)如果一个数的质因数分解式为a2×b3 ,则约数和为(1+a+a2 )×(1+b+b2+b3);
(2)如果一个数的质因数分解式为a×b×c2 ,则约数和为 (1+a)×(1+b)×(1+c+c2);
二、公约数、公倍数
1.基本概念
(1)如果a是若干个数公有的约数,则称a是它们的公约数,其中最大的叫做最大公约数;
(2)如果b是若干个数公有的倍数,则称b是它们的公倍数,其中最小的叫做最小公倍数;
(3)公约数是最大公约数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数.
2.计算方法
(1)短除法;
(2)分解质因数法;
(3)辗转相除法(只用于计算两个数的最大公约数).
3.基本性质
(1)a×b=(a,b)×[a,b];
(2)两个数的最大公约数是它们和或差的约数;
(3)已知两个未知数的最大公约数,可利用最大公约数把这两个数表示出来:
例如,甲、乙的最大公约数是5,则可以把甲乙分别设为5a和5b,其中a、b互质,此时甲乙的最小公倍数是5ab.
典型例题
一、 约数、倍数
1.约数的配对思想;
2.约数个数与完全平方数的关系;
3.求约数个数;
4.求约数的和;
5.利用约数个数反推原数的质因数分解形式.
二、公约数、公倍数
1.基本计算;
2.带有应用题背景的公约数公倍数计算;
3.有关最大公约数和最小公倍数的反求问题;
4.最大公约数、最小公倍数的质因数的分配.
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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:49:39 | 显示全部楼层
例题1:2012盏灯,分别对应编号为1至2012的2012个开关.现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关.已知第1个人按的开关的编号是1的倍数,第2个人按的开关的编号是2的倍数,第3个人按的开关的编号是3的倍数,……,依次做下去,第2012个人按的开关的编号是2012的倍数.如果最开始的时候,灯全是亮着的,那么这2012个人按完后,还有多少盏灯是亮着的?
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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:49:58 | 显示全部楼层
例题1求解:
因为第n个人按n的倍数的灯,所以第n盏灯被按的次数就是n的约数个数次,求最后多少盏灯是亮着的,即该灯的约数个数为偶数才可以亮着,考虑到可能性众多,思考灭了的灯的情况,如果n的约数个数为奇数,则灯灭,而只有完全平方数的约数个数才为奇数,小于2012的约数个数有44个(因为45平方=2025),所以灭灯数为44盏,那么亮着的即为2012-44=1968盏灯。
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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:50:19 | 显示全部楼层
例题2:
有10个约数的自然数最小是多少?有8个约数的最小的奇数是多少?
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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:50:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-1-17 09:00 编辑

例题2解答:
10=2×5   8=2×2×2
c=ab4,其中a、b≠1,求最小,则a=3,b=2,c=3×16=48
d=abc,其中a、b、c≠1,也不能为偶数,求最小奇数,则d=3×5×7=105

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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:51:15 | 显示全部楼层
例题3:42的倍数中,恰好有42个约数的数有多少个?
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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:52:20 | 显示全部楼层
例题3解答:
42=2×3×7
d=ab2c6,因为是42的倍数,所以a、b、c只能从2、3、7这三个数中选,3×2×1=6种。
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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:52:37 | 显示全部楼层
例题4
三个自然数乘积为5184,且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个.那么这三个自然数分别是多少?
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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:53:30 | 显示全部楼层
例题4求解:
5184=2634,可拆分的自然数
又因为约数个数为A、A+1、A+2,则3个自然数中至少有一个是完全平方数,1、2、3不可能;2、3、4,无解;4、5、6,可得16、27、12。

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 楼主| 发表于 2021-1-17 08:53:50 | 显示全部楼层
例题5
两个整数的差为7,他们的最小公倍数和最大公约数的差是689,则这两个数分别是多少?
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