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【汇总】灰老师原创题

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发表于 2021-1-18 13:56:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
第一题(鸡兔同笼问题):
鸡兔同笼,一共240条腿,如果把鸡的1/2换成兔子,再把兔子的1/3换成鸡,这时减少了10条腿,问原来有多少只鸡?


解析:
方法1:
不管鸡变兔子,还是兔子变鸡,他们的总和没变,腿减少了10条,
是因为远来兔子多鸡少造成的,减少10条腿,
说明兔子减少了10÷(4-2)=5只。
鸡的一半变成兔子之后,那兔子的腿跟原来鸡和兔子的腿一样多,
也就是说这时候兔子的腿数等于240条,如果兔子的1/3换成鸡,
这时候,兔子的腿=240*(1-1/3)=160,此时兔子=160÷4=40只,
那么原来兔子就是40+5=45只,一共240条腿,
那么此时的鸡就是(240-45*4)÷2=30只

方法2:设原来的鸡有x只,兔子有y只,
根据题意列方程得到:
2x+4y=240
(x/2+(x/2+y)*1/3)*2+(x/2+y)*2/3*4=240-10
解出x=30,y=45

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 楼主| 发表于 2021-1-18 13:57:17 | 显示全部楼层
第二题(年龄问题,不定方程问题):

三个小孩两年后的年龄之积是现在的4倍,问三个小孩4年后的年龄之积是现在的几倍?(小孩的年龄均小于10)


解析:对应小学生来说只能枚举,设三个小孩年龄分别是a,b,c,并且满足a<=b<=c;
如果a>=4时,两年后的年龄>=6岁与此时年龄的商6/4<=1.5,而1.5*1.5*1.5<4说明年龄最小的那个小孩的年龄是小于4岁的
然后讨论a=1~3的情况;
1).a=1时,(a+2)(b+2)(c+2)=4abc也就是3(b+2)(c+2)=4bc展开化简得到
(b-6)(c-6)=48,解出b=7,c=54;或者b=8,c=30;b=9,c=22;b=10,c=18;b=12,c=14;


2).a=2时,(a+2)(b+2)(c+2)=4abc也就是(b+2)(c+2)=2bc展开化简得到
(b-2)(c-2)=8,解出b=3,c=10;或者b=4,c=6;



3).a=3时,(a+2)(b+2)(c+2)=4abc也就是5(b+2)(c+2)=12bc,显然5|bc,小于10的数只有5|5,所以b=5或者c=5

b=5时,c=14/5
c=5时,b=14/5


综上所述,满足abc都小于10的解,只有a=2,b=4,c=6
那么四年后他们的年龄乘积是现在的倍数:6*8*10/(2*4*6)=10
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 楼主| 发表于 2021-1-19 18:05:54 | 显示全部楼层
第三题:
三个不同质数的和能整除他们的乘积,求这三个质数的和的最小值。


解析:设这三个质数分别是a,b,c,并且a<=b<=c
则有a+b+c|abc
显然abc的全部因子为1,a,b,c,ab,ac,bc,abc
因为a+b+c>c
所以a+b+c只有4种情况,
1).a+b+c=abc<=3c,得到ab<=3,因为ab是不同的质数,这是不可能,ab最小值也是6
2).a+b+c=ab,得到(a-1)(b-1)=c+1要使得质数和最小,也就是abc都要分别的小,
显然a=1时,只要b=c+2,因为b<=c,所以这不可能。
2).a+b+c=ac,得到(a-1)(c-1)=b+1要使得质数和最小,也就是abc都要分别的小,
显然a=2时,只要c=b+2,于是我们得到b=3,c=5满足题意是最小的解
2).a+b+c=bc,得到(b-1)(c-1)=a+1<=b+1,说明c-1<=(b+1)/(b-1)<=3,c<=4,此时必有重复质数




于是我们显然得到一组最小的解a=2,b=3,c=5
他们的和是2+3+5=10
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 楼主| 发表于 2021-1-20 08:58:26 | 显示全部楼层
第四题:
孙悟空今年是唐僧年龄的10倍,若干年后分别是唐僧的9倍,8倍…2倍,问孙悟空至少比唐僧大多少岁?


解析:年龄问题中年龄差是恒定不变的,所以他们的年龄差是9,8,7,……1的倍数


也就是求这些书的最小公倍数,(9,8,7,6,5,4,3,2,1)=2520


于是孙悟空至少比唐僧大2520岁。
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发表于 2021-1-23 01:40:30 | 显示全部楼层
第五题:2008年北京奥运会有11438名运动员参加比赛,假设这些运动员的ID从2008开始,
现在要为这些运动动员制备ID标志牌,由于有些数字比如0,1,8倒过来是相同的,而6和9互变,
请问需要制作多少个标志牌才能把所有的ID表示出来?
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 楼主| 发表于 2021-1-23 08:28:07 | 显示全部楼层
第六题:灰老师在黑板上写了一个由若干个正整数组成的等差数列,
小雨:都是奇数,只有一个数能被7整除,最大数小于100;
小杰:最小数是质数,2出现了2次,数列个数小于10;
如果小雨和小杰说的都是对的,那么这个数列的和最大是多少?
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 楼主| 发表于 2021-1-24 11:22:08 | 显示全部楼层
第七题:
哥哥:再过5年,我就是你年龄的3倍;
弟弟:再过5年,我就和你一样大了;
妈妈:傻孩子,你们怎么能以为自己的年龄每年会增长而别人都不增长呢。应该这样说,再过20年,我就是你们两个人的年龄之和了。
请问,妈妈现在多少岁?
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发表于 2021-2-1 09:47:08 | 显示全部楼层
第八题:
传说有一种多头蛇和多头鸟,多头蛇出生就有5个头,而多头鸟出生有3个头,
以后每过1年,多头蛇会长出2个头,多头鸟会长出3个头,笼子里关了若干只多条蛇和多头鸟,
数头有120个,三年后发现有150个头,请问笼子里有多少只多条蛇和多头鸟?
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 楼主| 发表于 2021-2-15 15:16:43 | 显示全部楼层
第九题:
一个四位数有两个连续自然数拼接而成,如5253,3940;这个自然数加上4是一个完全平方数,求这个四位数。
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 楼主| 发表于 2021-2-20 08:08:36 | 显示全部楼层
第十题:相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,请完善下面的乘法竖式:
1.png


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