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楼主: 鹦鹉豆豆

【汇总】抽屉原理

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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:00:12 | 显示全部楼层
练习14
一个3行7列的21个小方格的长方形,每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明:不论如何涂色,一定能找到一个由小方格组成的长方形,它的四个角上的小方格具有相同的颜色。
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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:00:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-2-9 11:03 编辑

练习14解答:
第一行有7个方格,因为涂两种颜色,根据抽屉原理二,必有一种颜色涂了4个或4个以上的方格。设第一行有四个红方格,第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中,如果有两个红色,那么结论已成立,否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3个黄方格下面的3个方格中,至少有两个方格涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形,如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。



小方块.png
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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:01:00 | 显示全部楼层
练习15
在{1,2,……,n}中,任意取10个数,使得其中有两个数的比值不小于2/3 ,且不大于3/2 。求n的最大值。
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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:01:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-2-9 11:12 编辑

练习15解答:由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里,显然最多构造9个抽屉。这9个抽屉中的每一个抽屉都含有123,,n中的一些数,而且这些数必须满足每两个数的比值都在2/3和3/2之间,这9个抽屉,是:{1};{2,3};{4,5,6};{7,8,9,10};{11,12,...,16};{17,18,...,24,25};{26,27,...,38,39};{40,41,...,59,60};{61,62,...,90,91}。 因此,n的最大值是91。

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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:01:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-2-9 11:13 编辑

练习16
从1,2,3,......,1988,1989这些自然数中,最多可取多少个数,其中每两个数的差不等于4?
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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:01:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-2-9 13:47 编辑

练习16解答:
把1,2,……,1989这些数分成四组公差是4的等差的数列:
1,5,9,……,1989共498个数;  
2,6,10,……1986共497个数;  
3,7,11……1987共497个数;   
4,8,12……1988共497个数;
我们发现:
1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可能是4;
2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差为4的话,两数将被归为一行,这显然与事实矛盾;故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个,每行最多可选249 个数;最终249×4=996(个)

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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:02:06 | 显示全部楼层
练习17
四个人聚会,每人各带了两件礼品,分赠给其余三个人中的两人。试证明:四个人中至少有两对,每对是互赠过礼品的。
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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:02:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-2-9 13:59 编辑

练习17解答:
将这四个人用4个点表示,如果两个人之间送过礼品,就在两点之间连一条线。由于每人送出2件礼品,共有4×2=8条线,由于每人礼品都分赠给2个人,所以每两点之间至多有1+1=2条线。四点间,每两点连一条线,一共6条线,现在有8条线,说明必有两点之间连了2条线,还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线。即为所证结论。


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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:02:46 | 显示全部楼层
练习18
一排长椅共有90个座位,其中一些座位已经有人就座了。这时,又来了一个人要坐在这排长椅上,有趣的是,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座?
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 楼主| 发表于 2021-2-5 11:03:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-2-9 14:09 编辑

练习18解答:由于,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻,求至少有多少人,则有人的位置如图所示,(“●”表示已经就座的人,“◯”表示空位):◯●◯◯●◯◯●◯…即有人的位置占全部人数1/390÷3=30人。即原来至少有30人已经就座。
或者按照2,5,8,...,90,按等差数列计算项数,可得n=30,所以就坐的有30人。


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