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【汇总】幻方的解法

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发表于 2021-2-13 11:25:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
幻方定义

幻方(Magic Square)是一种将数字安排在正方形格子中,使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
幻方也是一种中国传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形,使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
幻方(OEIS中的数列A006052)的数目还没有得到解决。

完全幻方:
完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等 。
乘幻方:
乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。

高次幻方:
n阶幻方是由前n^2(n的2次方)个自然数组成的一个n阶方阵,其各行、各列及两条对角线所含的
n个数的和相等。例子:(三阶幻方,幻和为15,)

高次幻方是指,当组成幻方各数替换为其2,3,...,k次幂时,仍满足幻方条件者,称此幻方为k次幻方。

反幻方:
反幻方的定义:在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等,具有这种性质的图表,称为“反幻方”。
反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同,正幻方所有幻和都相同,而反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个数之和。如下图3阶反幻方的比较。

多种反幻方:
可以说反幻方是一种特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同,也可以部分相同。
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 楼主| 发表于 2021-2-13 11:45:50 | 显示全部楼层
3阶幻方的解法:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
第一步:求幻和
我们知道3个行(列)幻和可以覆盖全部方格,那么就有幻和S的方程:3S=a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+3……+9=45
这样得到幻和S=15


第二步:求中心数
过中心数e的幻和有4个,刚好覆盖全部方格,并且中心数被额外算了3次,
于是我们得到关于中心数的方程:
4S=a+b+c+d+e+f+g+h+i+3e=3S+3e
得到e=S/3=5

第三步:求边上的数
我们观察过a的3个幻和,并没覆盖全部方格,只差对边上的数,于是得到
3S=a+b+c+d+e+f+g+h+i-(f+h)+2a=3S-(f+h)+2a
这样得到2a=f+h
由此我们得出a不能填1,否则f+h=2这样的方程只有1+1这一种情况,因为幻方的数字不能重复,
所以1不能在角上,只能在边上。
不妨设b=1,d,f,h也类似,因为幻方填好后,可以旋转得到其他的同构幻方。
这样我们得到:
S=b+e+h,推出h=9

第四步:完善整个幻方
由S=g+h+i得到g+i=6
而6的分解只有一下几种情况:
6=1+5;6=2+4;6=3+3;
显然6=3+3;有重复数字排除掉;
而6=1+5中中心数5已经填在中心位置了,不能再填给其他的位置;
于是只有6=2+4的情况,
我们可以选择一种填写,
不妨设g=2,i=4;
由g+e+c=S得到c=8
由a+e+i=S得到a=6
由a+d+g=S得到d=7
由c+f+i=S得到f=3

于是我们得到一个基本幻方解:
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1
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5
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2
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 楼主| 发表于 2021-2-13 12:02:16 | 显示全部楼层
奇数阶幻方解法(罗伯特法):1居首行正中央,
依次右上莫相忘,
上出格时往下放,
右出格时往左放,
排重便往自下放,
右上出格一个样。

下面以5阶幻方为例,讲述奇数幻方的填法。
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第一步:填1的位置
根据口诀,把填入第一行正中间的位置,也即是a3=1

第二步:爬楼梯接着填
根据口诀,a4的上方填2,因为已经出格了,根据第三句口诀,把这个数下方到最后一行,
得到a24=2,接着爬楼梯,a20=3,下一个右边出格了左放,得到a11=4,a7=5;
右上方a3已经填好,根据第四句下放,得到a12=6,a8=7,a4=8,
接着下方a25=9,
再接着左放a16=10,下方a21=11,a17=12,a13=13,a9=14,a5=15,
都出格下方a10=16,
接着左放a1=17,
下放a22=18,a18=19,a14=20,
下放a19=21,a15=22,
左放a6=23,a2=24,
下放a23=25
这样得到完整的5阶幻方
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 楼主| 发表于 2021-2-13 12:12:13 | 显示全部楼层
偶数(4m)阶幻方填法(1)
以4阶幻方为例:
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口诀:

对角线反填;
其它正填。

a1,a4,a6,a7,a10,a11,a13,a16先不管
先把1~16填入非对角线位置,
得到:
a2=2,a3=3;a5=5,a8=8;
a9=9,a12=12;a14=14,a15=15;

然后对角线反着填,
a16=1,a13=4;a11=6,a10=7;
a7=10,a6=11;a4=13,a1=16;

这样就可以得到一个完整的4阶幻方:
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 楼主| 发表于 2021-2-13 12:28:30 | 显示全部楼层
偶数(4m)阶幻方填法(2)
以8阶幻方为例:把它分解成两(多了继续分)个四阶幻方
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对于每个幻方都用4阶幻方填法;
这样对角线就分别是a1,a4,a5,a8,……,a64,
我们依然采用对角线反填的方法完成填写。
得到一个8阶幻方如下:
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 楼主| 发表于 2021-2-13 12:42:57 | 显示全部楼层
偶数(4m+2)阶幻方填法:以6阶幻方为例
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先分成四个奇数阶幻方,如下图:
1.png
左上九宫称为A,右下九宫称为B;
右上九宫称为C,左下九宫称为D;
对每一块依次采用罗伯特法进行构造幻方,
得到以下幻方:
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3
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7
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 楼主| 发表于 2021-2-13 13:08:16 | 显示全部楼层
【例 4】在下图的每个方格中填入一个数字,使得每行每列和对角线都含有数字1、2、3、4。
1.png

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 楼主| 发表于 2021-2-13 13:12:03 | 显示全部楼层
利用对角线上的数的唯一性,直接课求得:
1.png
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 楼主| 发表于 2021-2-13 13:20:00 | 显示全部楼层
下面幻方中,五角星处填几?
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 楼主| 发表于 2021-2-13 13:20:42 | 显示全部楼层
admin 发表于 2021-2-13 13:20
下面幻方中,五角星处填几?

4+⭐=8+1
得到⭐=5
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