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行程综合(三)

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发表于 2021-2-22 16:37:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
一、比例解行程问题
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用V甲、V乙、T甲、T乙、S甲、S乙来表示,大体可分为以下两种情况:
1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
二、时钟问题
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题,不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时,而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟,具体为:
整个钟面为360度,上面有12个大格,每个大格为30度;60个小格,每个小格为6度。
分针每分钟走1小格,每分钟走6度
时针每分钟走 小格,每分钟走0.5度
但是在许多时钟问题中,往往我们会遇到各种“怪钟”,或者是“坏了的钟”,它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同,这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
三、线段示意图法在多人多次相遇中的应用
线段示意图,特别是折线示意图是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:38:27 | 显示全部楼层
例题1:
从花城到太阳城的公路长12公里.在该路的 2千米处有个铁道路口,是每关闭 3分钟又开放 3分钟的.还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯,每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯.小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城,出发时道口刚刚关闭,而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯.已知电动车速度是常数,小糊涂既不刹车也不加速,那么在不违反交通规则的情况下,他到达太阳城最快需要多少分钟?
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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:38:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-4 14:52 编辑

例题1解答:
画出反映交通灯红绿情况的 s t- 图,可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是 0.5 千米/分钟,此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿的点,所以他到达太阳城最快需要 24分钟.


xc01.png
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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:39:28 | 显示全部楼层
例题2:
甲、乙两车同时从 A地出发,不停地往返行驶于 A、B 两地之间.已知甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地.甲车的速度是乙车速度的多少倍?
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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:39:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-4 14:53 编辑

例题2解答:
第一次相遇时两车合走了两个全程,而乙车走了 AC 这一段路;第二次相遇两车又合走了两个全程,而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地,也就是 2 个 BC 段.由于两次的总行程相等,所以每次乙车走的路程也相等,所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长.而从第一次相遇到第二次相遇之间,甲车走了 2 个 AC 段,根据时间一定,速度比等于路程的比,甲车、乙车的速度比为 2 AC : 2 BC =2 :1 ,所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍.

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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:40:05 | 显示全部楼层
例题3:
小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6 倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍?
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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:40:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-4 14:54 编辑

例题3解答:
设小芳上学路上所用时间为 2,那么走一半平路所需时间是1.由于下坡路与一半平路的长度相同,根据路程一定,时间比等于速度的反比,走下坡路所需时间是1÷1.6=5/8,因此,走上坡路需要的时间是2-5/8=11/8,那么,上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比,为1:11/8=8/11,所以,上坡速度是平路速度的8/11倍.


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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:40:40 | 显示全部楼层
例题4:
一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的地晚1.5 小时.若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的3/4前进,则到达目的地仅晚1 小时,那么整个路程为多少公里?
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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:40:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-4 14:57 编辑

例题4解答:
出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的地晚1.5 小时,所以后面以原速的3/4前进的时间比原定时间多用1.5-0.5=1小时,而速度为原来的3/4,所用时间为原来的4/3,所以后面的一段路程原定时间为1÷(4/3-1)=3小时,原定全程为 4 小时;出发 1小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的3/4前进,则到达目的地仅晚1 小时,类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为(1-0.5)÷(4/3-1)=1.5小时.所以原速度行驶 90 公里需要1.5 小时,而原定全程为 4 小时,所以整个路程为 90÷1.5×4=240公里.

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 楼主| 发表于 2021-2-22 16:41:13 | 显示全部楼层
例题5:
上午 8 点整,甲从 A地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变;8 点 30 分,甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从 B 地出发时是 8 点几分.
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