求十位数个数

灰老师 · 发表于 2021-2-24 23:37:54

一个十位数，刚好由0~9十个数字组成，如果这个数能被11整除，求这样的十位数的个数。

灰老师 · 发表于 2021-2-27 19:20:51

解析：我们得先知道被11整除的数的特征，即奇数位与偶数位的数字和之差是11的倍数。我们可以设奇数位数字和为 $x$ ，偶数位数字和为 $y$ ，根据题目信息有：

$\begin{cases} & \text{ } x+y=45 \\ & \text{ } x-y=11k \end{cases}$ 解出 $\begin{cases} & \text{ } x=\frac{45 +11k}{2} \\ & \text{ } y=\frac{45 -11k}{2} \end{cases}$

显然 $k$ 只能为奇数，并且正整数 $x，y$ 的最小值为 $0+1+2+3+4=10$

case1. $k=1$ 时， $x=28，y=17$

case2. $k=-1$ 时， $x=17，y=28$

case3. $k=3$ 时， $x=39，y=6$ 舍去，与最小值10矛盾

所以只需要考虑前两种情况，我们考虑数码和为17的情况，剩下的数码和必定就是28了。

$17=0+1+2+5+9$

$17=0+1+2+6+8$

$17=0+1+3+4+9$

$17=0+1+3+5+8$

$17=0+1+3+6+7$

$17=0+1+4+5+7$

$17=0+2+3+4+8$

$17=0+2+3+5+7$

$17=0+2+4+5+6$

$17=1+2+3+4+7$

$17=1+2+3+5+6$

一共11种情况，下面开始计数

最高位不能为0，其他的数字随便排列即可，对于每种含0的情况，所有符合条件的情况 $4A^{4}_{4}\times A^{5}_{5}=96\times120=11520$ ,

不含0的情况，所有情况为 $A^{5}_{5}\times A^{5}_{5}=120\times120=14400$

$x=17$ 的最终的总计数为： $11520\times9+14400\times2=132480$

$x=28$ 的最终总计数为： $11520\times2+14400\times9=152640$

所以一共有 $132480+152640=285120$ 种情况

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