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【汇总】数论综合(一)

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发表于 2021-3-9 07:56:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
数论问题按知识体系大体可分为:整除问题、余数问题、奇偶问题、质数合数、约数倍数,但它们并不是数论的全部,细心的你会发现在数论这个大家族中还有一些“特别身影”,它们也是帮你解决数论问题的法宝。比如最大最小问题、关于取整运算、尾数问题、二进制应用、一些特殊变形问题等。
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 楼主| 发表于 2021-3-9 07:57:23 | 显示全部楼层
例题1:
从1开始由小到大按顺序取自然数,第一次取一个数,第二次取两个数,第三次取三个数,以后继续按照每次取一个、两个、三个的方式重复进行,第(  )次取的数之和为573。
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 楼主| 发表于 2021-3-9 07:57:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-17 14:12 编辑

例题1解答:
573/3=191 所以三个数分别是190、191、192
因为3次是取6个数,我们用192÷6=32
那么也就是说,192是32个3次,就是取到192是96次。


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 楼主| 发表于 2021-3-9 07:57:56 | 显示全部楼层
例题2:
小明写自然数从1到N,所写下的数字之和是28035,则N=?
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 楼主| 发表于 2021-3-9 07:58:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 08:16 编辑

例题2解答:
解法一
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
010 011 012 013 014 015 016 017 018 019
...
...
990 991 992 993 994 995 996 997 998 999
共有1000个数字.
个位的1有100个
个位的2有100个
个位的3有100个
...
个位的9有100个
同理.十位的1、2、3、……9分别有100
百位的1、2、3、……9有100
所以1至999各位数的和是
(1+2+3+……+9)*100*3=13500
1000到1999的个位、十位、百位数的和也是(1+2+3+……+9)*100*3=13500
千位有1000个1,他们的和是1000。
还有2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006各位数字的和是35
全部相加是13500+13500+1000+35=28035
解法二:
(0、1999),(1、1998),(3,1997)……(999,1000)。
这样配共1000对。每对的和都有1+9+9+9=28
另外2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006各位数字的和是35
所以(1+9+9+9)*1000+35=28035


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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:01:17 | 显示全部楼层
例题3:从1到10001的所有自然数按格式排列,用一个正方形框子框出九个数,要使这九个数的和等于(1)1995,(2)2529,(3)1998问能否办到?若能办到,请你写出正方形框里的最大数和最小数。


sl001.png
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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:01:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 08:18 编辑

例题3解答:
用一个正方形框子框出的9个数的和必定是框子中间的数的9倍。
(1)因为1995不是9的倍数,所以9个数的和为1995不可能。
(2)2529÷9=281
又281÷7=40……余1即281在所有数的排列中,它排在左边第一列上,所以不可能以它为中心构成一个9个数的正方形框。
(3)1998÷9=222 222÷7=31……余5
框中最大数是222+1+7=230
框中最小数是222-1-7=214


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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:01:56 | 显示全部楼层
例题4:
如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:02:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 08:20 编辑

例题4解答:
两位的质数有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,
67,71,73,79,83,89,97.
可得出,最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.
所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.


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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:02:39 | 显示全部楼层
例题5:
如果某整数同时具备如下3条性质:
①这个数与1的差是质数;
②这个数除以2所得的商也是质数;
③这个数除以9所得的余数是5.
那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.
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