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楼主: 鹦鹉豆豆

【汇总】数论综合(一)

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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:13:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 09:31 编辑

例题15解答:
如果是4个非0数字则应该能组成4×3×2×1=24个不同的4位数,而实际只能组成18个不同的4位数,则4个数字中必然有0。因为完全平方数的个位数只能为1,4,5,6,9(0必须成对出现),所以剩下的3个数字必有两个是这5个中的2个,若最小的数字是4,5,6的话,只有9604和4096为完全平方数,但4096并不是这4个数字所组成的最小的四位数,不满足题意,所以最小数字为1,此时1089和9801这两个四位数满足题意。因此这4个数字为0、1、8、9,所能组成的四位数千位为1、8、9的均有6个,所以这18个四位数千位上之和为1×6+8×6+9×6=108,同理,个位百位十位上的数字之和均为72,所以这18个四位数之和为108×1000+72×100+72×10+72=115992,其平均数为6444。


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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:13:40 | 显示全部楼层
例题16:
有些三位数,如果它本身增加3,那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的1/3 .求所有这样的三位数.
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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:13:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 09:49 编辑

例题16解答:
设这个三位数为abc,数字和为a+b+c,如果没有进位,那么abc+3=ab(c+3),显然数字和增加了3,不满足,所以一定有进位,
则abc+3=a(b+1)(c+3-10),数字和为0+(b+1)+(c+3-10)=(a+b+c)/3,则a+b+c=9,而c+3必须有进位,所以c只能为7,8,9.
验证,如下表:
  
c的值
  
7
8
9
  
a+b的值
  
2
1
0
  
a的值
  
2
1
1
---
  
b的值
  
0
1
0
---
  
abc的值
  
207
117
108
---
验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足.
所以,原来的三位数为207,117或108.


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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:14:15 | 显示全部楼层
例题17:
有1、A、B、C四个整数,满足A+B+C=2001,而且1<A<B<C。这四个整数两两求和得到六个和,把这六个数按从大到小排列起来,恰好构成一个等差数列。请问:A、B、C分别是多少?
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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:14:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 09:54 编辑

例题17解答:
sl009.png
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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:15:20 | 显示全部楼层
例题18:
在一个国家里,国王要建N个城市,在城市之间建N-1条道路,使得从每个城市都能到达另一个城市(每条道路连接两个城市,道路不相交,不穿过其它城市)且一个城市到另一个城市最短路线分别为1,2,3,…,N*(N-1)/2。若(1) N=6;(2) N=2006;  国王的要求能否办到?  
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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:15:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 09:58 编辑

例题18解答:
(1)N=6时,可以按如下的方法设计道路。设A,B,C,D,E,F为六个城市,从C引出三条道路,分别通向A,B,D,长度分别为1,2,5。从D再引出两条道路,分别通向E,F,长度分别为4,8。此时即可满足要求,所以N=6时,国王的要求可以办到。(2)根据在N个城市之间建N-1条道路可知,从一个城市到另一个城市只有唯一的路线。把城市A染成红色,若城市B与A之间的路程为偶数,则B也染上红色,否则染上黄色,这样可以把所有城市均染成红色或黄色,并且两城市同色时,它们之间的路程为偶数,否则它们之间的路程为奇数。设有x个城市染成红色,y个城市染成黄色,则由一个红色城市与一个黄色城市配对可配成xy对,所以在所有的路程中有xy个奇数。若N(N-1)/2是偶数,则1,2,3,…,N(N-1)/2中有一半是奇数,所以有xy=1/4N(N-1)。又因为x+y=N,则N=N2-4xy=(x+y)2 -4xy=(x-y)2。若N(N-1)/2是奇数,则1,2,3,…,N(N-1)/2中有1/2[1/2N(N-1)+1]个奇数,所以有  xy=1/2[1/2N(N-1)+1]=1/4N(N-1)+1/2。又因为x+y=N,则N=N2-4xy+2=(x+y)2 -4xy=(x-y)2 +2,即N-2=(x-y)2。因此,如果题目中的要求可以实现,则N或N-2是完全平方数,由于2006和2004都不是完全平方数,所以国王的要求不能办到。

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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:15:50 | 显示全部楼层
例题19:
有13个不同自然数,它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?
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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:16:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 鹦鹉豆豆 于 2021-3-18 09:59 编辑

例题19解答:
13个整数的和为100,即偶数,那么奇数个数一定为偶数个,则奇数最少为2个,最多为12个;对应的偶数最多有11个,最少有1个.
但是我们必须验证看是否有实例符合.
当有11个不同的偶数,2个不同的奇数时,11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4,它们的和最小为132+4=136,显然不满足;
当有9个不同的偶数,4个不同的奇数时,9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足;
当有7个不同的偶数,6个不同的奇数时,7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11=36,满足,如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.
类似的可知,最少有5个不同的偶数,8个不同的奇数,有2,4,8,10,16,1,3,5,7,9,11,13,15满足.
所以,满足题意的13个数中,偶数最多有7个,最少有5个.


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 楼主| 发表于 2021-3-9 08:17:13 | 显示全部楼层
例题20:
图中,第1行将1到100的自然数依从小到大排列;第2行有99个自然数,第1个是第1行第1个自然数和第2个自然数的和,……, 第k个是第1行第k个自然数和第k+1个自然数的和,  ; 从第2行起,根据第2行的规律排列,一直到第100行. 请问:图中一共有多少个自然数能被77整除.
sl005.png
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