【汇总】数论综合（一）

鹦鹉豆豆

例题15解答：

如果是4个非0数字则应该能组成4×3×2×1=24个不同的4位数，而实际只能组成18个不同的4位数，则4个数字中必然有0。因为完全平方数的个位数只能为1，4，5，6，9（0必须成对出现），所以剩下的3个数字必有两个是这5个中的2个，若最小的数字是4，5，6的话，只有9604和4096为完全平方数，但4096并不是这4个数字所组成的最小的四位数，不满足题意，所以最小数字为1，此时1089和9801这两个四位数满足题意。因此这4个数字为0、1、8、9，所能组成的四位数千位为1、8、9的均有6个，所以这18个四位数千位上之和为1×6+8×6+9×6=108,同理，个位百位十位上的数字之和均为72，所以这18个四位数之和为108×1000+72×100+72×10+72=115992，其平均数为6444。

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例题16：
有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的1/3 ．求所有这样的三位数．

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例题16解答：

设这个三位数为abc，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么abc+3=ab(c+3)，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，

则abc+3=a(b+1)(c+3-10),数字和为0+(b+1)+(c+3－10)=(a+b+c)/3，则a+b+c=9，而c+3必须有进位，所以c只能为7，8，9．

验证，如下表：

c的值	7		8	9
a+b的值	2		1	0
a的值	2	1	1	---
b的值	0	1	0	---
abc的值	207	117	108	---

验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足．

所以，原来的三位数为207，117或108．

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例题17：
有1、A、B、C四个整数，满足A＋B＋C＝2001，而且1＜A＜B＜C。这四个整数两两求和得到六个和，把这六个数按从大到小排列起来，恰好构成一个等差数列。请问：A、B、C分别是多少？

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例题17解答：

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例题18：
在一个国家里，国王要建N个城市，在城市之间建N-1条道路，使得从每个城市都能到达另一个城市(每条道路连接两个城市，道路不相交，不穿过其它城市)且一个城市到另一个城市最短路线分别为1,2,3,…，N*(N-1)/2。若(1) N＝6；(2) N＝2006；  国王的要求能否办到?  

鹦鹉豆豆

例题18解答：

（1）N=6时，可以按如下的方法设计道路。设A,B,C,D,E,F为六个城市，从C引出三条道路，分别通向A,B,D，长度分别为1，2，5。从D再引出两条道路，分别通向E,F，长度分别为4，8。此时即可满足要求，所以N=6时，国王的要求可以办到。（2）根据在N个城市之间建N-1条道路可知，从一个城市到另一个城市只有唯一的路线。把城市A染成红色，若城市B与A之间的路程为偶数，则B也染上红色，否则染上黄色，这样可以把所有城市均染成红色或黄色，并且两城市同色时，它们之间的路程为偶数，否则它们之间的路程为奇数。设有x个城市染成红色，y个城市染成黄色，则由一个红色城市与一个黄色城市配对可配成xy对，所以在所有的路程中有xy个奇数。若N(N-1)/2是偶数，则1,2,3，…，N(N-1)/2中有一半是奇数，所以有xy=1/4N(N-1)。又因为x+y=N，则N=N²-4xy=(x+y)² -4xy=(x-y)²。若N(N-1)/2是奇数，则1,2,3，…，N(N-1)/2中有1/2[1/2N(N-1)+1]个奇数，所以有  xy=1/2[1/2N(N-1)+1]=1/4N(N-1)+1/2。又因为x+y=N，则N=N²-4xy+2=(x+y)² -4xy=(x-y)² +2，即N-2=(x-y)²。因此，如果题目中的要求可以实现，则N或N-2是完全平方数，由于2006和2004都不是完全平方数，所以国王的要求不能办到。

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例题19：
有13个不同自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?

鹦鹉豆豆

例题19解答：

13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．

但是我们必须验证看是否有实例符合．

当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22＝132，而2个不同的奇数和最小为1+3＝4，它们的和最小为132+4＝136，显然不满足；

当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18＝90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7＝16，还是大于100，仍然不满足；

当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14＝56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11＝36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．

类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1，3，5，7，9，11，13，15满足．

所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．

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例题20：
图中，第1行将1到100的自然数依从小到大排列；第2行有99个自然数，第1个是第1行第1个自然数和第2个自然数的和，……, 第k个是第1行第k个自然数和第k+1个自然数的和，  ； 从第2行起，根据第2行的规律排列，一直到第100行. 请问：图中一共有多少个自然数能被77整除.